Avec un arbre pondéré - Exemple

On considère un jeu consistant à tirer deux cartes successivement et avec remise dans un jeu de 32 cartes. On mise 2 € pour jouer et les règles sont les suivantes : 

• on gagne 20 € si on tire deux as ;
  
• on gagne 10 € si on tire deux figures ;
  
• on gagne 5 € si on tire un as sur les deux cartes ; 
  
• on ne gagne rien sinon. 

On note les événements : 

• `\text(A)`  : « On tire un As. »
  
• `\text(F)`  : « On tire une figure. »
  
• `\text(C)`  : « On tire un 7, 8, 9 ou 10. »
  

On a alors  `P(\text{A})=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}` ;  `P(\text{F})=\frac{12}{32}=\frac{3}{8}`  et  `P(\text{C})=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}` . 

Soit  `G`  la variable aléatoire qui, à toute issue du jeu, associe le gain du joueur. La situation peut être représentée par un arbre pondéré. 

`` La variable aléatoire  `G`  prend les valeurs  `-2;3;8 \ \text{et}\ 18` .

L'événement  `(G=18)` se réalise lorsqu'on pioche deux as. Sa probabilité est  `P(G=18)=(\frac{1}{8})^2=\frac{1}{64}` .

L'événement  `(G=8)` se réalise lorsqu'on pioche deux figures. Sa probabilité est  `P(G=8)=(\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}` .

Trois chemins de l'arbre de probabilités représentant l'expérience aléatoire réalisent l'événement  `(G=-2)` . Il s'agit des chemins représentant les intersections d'événements suivants :  \((\text F\cap \text C)\cup(\text C\cap \text F)\cup(\text C\cap \text C)\) . La probabilité est  `P(G=-2)=\frac{3}{8}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{3}{8}+(\frac{1}{2})^2=\frac{5}{8}` .

Quatre chemins de l'arbre de probabilités représentant l'expérience aléatoire réalisent l'événement `(G=3)` . Il s'agit des chemins représentant les intersections d'événements suivants :  \((\text A\cap \text F)\cup(\text A\cap \text C)\cup(\text F\cap \text A)\cup(\text C\cap \text A)\) . La probabilité est  `P(G=3)=\frac{1}{8}\times\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\times\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{8}=7/32` .

Cette dernière probabilité peut aussi se retrouver par le calcul suivant `P(G=3)=1-\left(P(G=18)+P(G=8)+P(G=-2)\right)` . 

La loi de  `G`  est donc représentée par le tableau suivant :